Estadística II - Introducción a la Estadística - Regresión Lineal (Práctica 9)

Regresión Lineal (Práctica 9)

Relación Matemática y Relación Estadística: 

Una relación matemática entre variables es una relación determinista. Es posible prever con certeza el valor de una de ellas cuando se conoce el valor que asumen las demás. 

Sin embargo, en la gran mayoría de las situaciones, podemos no estar considerando todas las variables. En estos casos estamos frente a lo que se denomina, una relación estadística entre variables. 

Modelización Estadística: 

"El objetivo ... es ilustrar como construir modelos que expliquen el comportamiento de una variable de interés, la variable respuesta, como resultado del efecto conjunto de variables explicativas y mostrar la utilización de estos modelos para hacer predicciones o tomar decisiones".

Modelo Estadístico: 

- Parte sistemática g (x) , Patrón o seña 
- Parte Aleatoria "e " 
- " n " unidades 

Se asume que la parte aleatoria es una variable no observable con una distribución probabilistica. 

 Especificación de la parte sistemática:

- Nuestro objetivo es encontrar una relación que permita predecir el valor de " y " si encontramos una nueva observación de " x ". 

Modelo de regresión lineal simple: 

- Variable de entrada y variable de respuesta. 

Un modelo de regresión lineal simple asume una relación lineal entre el valor medio de la respuesta y el valor de la variable de entrada. 


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Estadística II - Introducción a la Estadística - Teórico 2A Revisión

Teórico Segunda Revisión: 

Verdadero o Falso Ejercicio Práctica 6: 

(a) La Esperanza de la Media Muestral (E X barrita) es más pequeña para muestras de Mayor Tamaño: FALSO. No varía. Es un número. 

(b) La Esperanza de la Media Muestral (E X barrita) es constante para cualquier tamaño de la muestra: VERDADERO. 

(c) La Varianza de la Media Muestral es más pequeña para muestras de menor tamaño: VERDADERO. 

(d) La distribución de la Media Muestral (X barrita) se aproxima a una binomial al crecer n: FALSO. Se aproxima a una normal al crecer n. 

(e) La distribución de la Media Muestral (X barrita) se aproxima a una normal: FALSO. No hay condición en el texto para que eso pase. 

(f) La distribución de la Media Muestral (X barrita) se aproxima a una normal al crecer n: VERDADERO. 

Ejercicio Teórico Práctica 7: 

Para un mismo tamaño de muestra, si queremos aumentar la confianza, siempre aumenta la amplitud del intervalo. 

Para un mismo nivel de confianza, si aumentamos la muestra, disminuimos la amplitud del intervalo. 

Estimación de Media con varianza desconocida de Variable Normal (Distribución Tstudent): 

A medida que aumenta la confianza y se mantiene el mismo tamaño de muestra, aumenta la amplitud del intervalo. 

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Estadística II - Introducción a la Estadística - Contraste de Hipótesis Estadísticas (Práctica 8)

Contraste de Hipótesis Estadísticas (Práctica 8)

El punto de partida consiste en postular un comportamiento particular para la distribución poblacional y luego preguntarse si la información que la muestra contiene apoya el postulado realizado o, si por el contrario, lo contradice.

Definiciones: 

Hipótesis Estadística: es una afirmación relativa a la distribución poblacional de una variable aleatoria. 

Contraste de Hipótesis Estadísticas: en todo contraste de hipótesis estadísticas, se especifican la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (H1). Cada una de ellas postula un comportamiento de la distribución normal incompatible con la otra.  

Estadístico de contraste: es un estadístico en base al cual se construye el criterio de decisión del contraste. 

Región crítica o región de rechazo (C): es el conjunto de valores del estadístico de contraste para los que se rechazará la hipótesis nula.

Se rechaza H0 si el estadístico de contraste está en C
No se rechaza H0 si el estadístico de contraste no está en C. 

Un contraste de Hipótesis está sujeto a error: 
- Grado de confiabilidad 

Errror de Tipo I: Rechazar H0 siendo esta cierta.  
Error de Tipo II:  No rechazar H0 siendo esta falsa. 

Nivel de significación del contraste: es la máxima probabilidad de rechazar H0 siendo esta cierta (alfa)

 p - Valor de un contraste: es el menor nivel de significación al que se debería rechazar 
H0 con los datos disponibles. 

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Estadística II - Introducción a la Estadística - Estimación (Práctica 7)

ESTIMACIÓN (Práctica 7)

Estudiaremos la estimación puntual y por intervalo de parámetros poblacionales. 

Se trata de determinar que podemos concluir sobre el valor de las cantidades poblacionales desconocidas a la luz de los datos observados en una muestra extraída de la población de interés. 

- Media de presición 
- Medida de confianza 

Recordar definiciones: 
- Población 
- Parámetro 
- Muestra 
- Estadístico 

Definiciones nuevas: 

Estimados Puntual: Es un estadístico que se utiliza con el propósito de predecir o estimar el valor de un parámetro poblacional. 

Propiedades de los Estimadores Puntuales: 
- Insesgamiento 
- Mínima varianza 

Un estimador por intervalo de un parámetro poblacional es un intervalo aleatorio (sus extremos son variables aleatorias) para el que se predice contendrá al verdadero valor del parámetro con una determinada probabilidad. 

* Cantidad Pivotal. 

Un intervalo de Confianza para un parámetro poblacional resulta de evaluar el estimador por intervalo para dicho parámetro en la muestra observada. 

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Estadística II - Introducción a la Estadística - Distribuciones de los estadísticos asociados al muestreo (Práctica 6)

DISTRIBUCIONES DE LOS ESTADÍSTICOS ASOCIADOS AL MUESTREO (Práctica 6)

Comenzaremos a abordar el problema de hacer inferencia estadística.

El objetivo es extraer conclusiones sobre el comportamiento de una población a partir de la observación parcial de la misma.

Dispondremos de un conjunto de datos sobre una muestra de los elementos de la población de interés en base a los cuales inferiremos el comportamiento de la población de la que fue seleccionada la muestra.

Media muestral - varianza finita 
varianza muestral - desviación normal. 

DEFINICIONES: 

Población: Conjunto de elementos en los que estamos interesados. 
N = cantidad de elementos de la población.
(u) = Media 
(o2) = Varianza

Parámetro: Cantidad poblacional desconocida. 
Nuestro objetivo es estimar el valor de los parámetros. 

Muestra: subconjunto de elementos de la población. 
n = cantidad de observaciones en la muestra 

Estadístico: magnitud numérica cuyo valor viene determinado por la muestra. 

Media Muestral:

Varianza Muestral:

Distribución exacta de la media muestral: (Bernuolli, Binomial)

Teorema central del límite: (Parte de C)

Tamaño de la muestra para que la aproximación sea válida: 

Distribución Chi-Cuadrado : 

Cálculo de probabilidades : 

Distribución de S2: ( Ver Polimedia )
Apendice: Estimación de una proporción - Muestreo sin remplazo : 

- Muestra aleatoria sin reemplazo 
- Aproximación Binomial 
- Aproximación Normal 

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Estadística II - Introducción a la Estadística - Estadística Descriptiva (2)

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
MEDIDAS DE RESUMEN PARA DATOS DE VARIABLES CUANTITATIVAS.

OBJETIVO
Presentar medidas que resumen la información contenida en un conjunto de datos de variables cuantitativas.

ESTUDIAREMOS LAS SIGUIENTES MEDIDAS DE RESUMEN:

Posición de los datos:

Posición o tendencia central: 

- Media Muestral: 

Ej: Suma de las materias aprobadas entre todos los estudiantes / la cantidad de estudiantes. 
No tiene por que coincidir con ninguno de los datos pero debe estar comprendida entre el mínimo y el máximo valor observado.
La misma no debe redondearse.

Las diferencias entre cada uno de los valores observados y la media muestral se denominan desviaciones.

* DEBILIDAD DE LA MEDIA MUESTRAL COMO INDICADOR DE LA POSICIÓN CENTRAL DE UN CONJUNTO DE DATOS: La media muestral se ve afectada por valores extremos en el conjunto de datos.

Una medida que se utiliza para representar el centro de un conjunto de datos que supera este problema es la mediana muestral.

- Mediana Muestral: 

DEFINICIÓN Concepto: Valor central de un conjunto de datos ordenados de menor a mayor.

Si n es impar: la mediana coincide con el valor que se encuentra en la posición central en la lista ordenada.

Si n es par: la mediana muestral es la media de los dos valores que ocupan las dos posiciones centrales. 

* Ojo c ej de 100.
** Ojo c números repetidos (Se ponen 2 veces). 

OBSERVACIONES
Para los conjuntos de datos aproximadamente simétricos la media muestral y la mediana muestral tienen valores próximos.

- MODA MUESTRAL
DEFINICION: Valor de dato que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

SI NO EXISTE UN ÚNICO VALOR QUE APAREZCA CON MAYOR FRECUENCIA EN EL CONJUNTO DE DATOS: aquellos valores que tengan la máxima frecuencia se denominan valores modales.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS MEDIDAS DE POSICION CENTRAL

MEDIA MUESTRAL:
Ventaja: Para su calculo se utilizan todos los datos.
Desventaja: Es afectada por datos atípicos.

MEDIANA MUESTRAL:

Ventaja: No es afectada por datos atípicos.
Desventaja: Para su calculo solo se considera el orden de los datos (y no su valor).

MODA MUESTRAL:

Ventaja: Es fácil de calcular e interpretar.
Desventaja: Únicamente considera el/los valores con mayor frecuencia.

Posicion no central: Percentiles.

Variacion o dispersion: Varianza, Desviacion tipica, Coeficiente de variacion, Rango o Recorrido, Rango Intercuartilico o Recorrido Intercuartílico.
Forma de la distribucion de los datos. Conjuntos de datos normales.
Simetría. Asimetría.
Covarianza y Correlacion lineal entre datos de dos variables cuantitativas.

MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRAL - PERCENTILES

CUARTILES

Los cuartiles son casos particulares de percentiles.
PRIMER CUARTIL (Q1): Percentil de orden 25%.
SEGUNDO CUARTIL (Q2): Percentil de orden 50%. (Observe que Q2 = m.)
TERCER CUARTIL (Q3): Percentil de orden 75%.

VARIANZA MUESTRAL

DESVIACION TIPICA MUESTRAL

DEFINICION: La rai z cuadrada positiva de la varianza muestral se denomina desviaci on t pica muestral.

COEFICIENTE DE VARIACION

RANGO Y RANGO INTERCUARTILICO

RANGO O RECORRIDO
Es la diferencia entre el mayor y el menor valor del conjunto de datos.

RANGO O RECORRIDO INTERCUARTILICO
Es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil.

Estadística II - Introducción a la Estadística - Estadística Descriptiva

Estadística II - Introducción a la Estadística - Estadística Descriptiva 

Este resumen fue elaborado para estudiar para el examen. 
El mismo NO es oficial ni está avalado por la cátedra.
Revisar, ya que el mismo puede tener errores.

Estadística Descriptiva:

Es el área de la Estadística que aborda la descripción y clasificación de datos. 

OBJETIVOS:
- Presentar en forma clara y concisa los resultados de un estudio.
- Conocer herramientas para rápidamente identificar las características de la distribución de un conjunto de datos.

VARIABLE: Característica que poseen los elementos de una población que seria objeto de estudio estadístico.

TIPOS DE VARIABLES

Las variables pueden ser:

CUALITATIVAS:

Se caracterizan por su naturaleza conceptual. Los datos se clasifican en categorías o clases que deben ser exhaustivas y mutuamente excluyentes.

- Nominales: los datos se clasifican en categorías que no tienen un orden implícito. Ejemplos: sexo, religión, profesión.

- Ordinales: los datos se clasifican en categorías que tienen un orden implícito. Ejemplos: estado de una vivienda, nivel de educación.

CUANTITATIVAS:

Se caracterizan por su naturaleza numérica. Denominamos recorrido de la variable al conjunto de todos los valores que ella puede asumir.

Discretas: Su recorrido es finito o infinito numerable. Ejemplos: cantidad de empleados de una empresa, población mundial a una determinada fecha, cantidad de autos que circulan en el mundo.

Continuas: Aunque solo sea en teoría, su recorrido es infinito no numerable. Ejemplos: tasa de interés efectiva mensual, ingresos de una empresa, estatura de una persona.

PRESENTACIÓN DE DATOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS: 

Para un conjunto de datos (de tamaño n), una tabla de frecuencias muestra las distintas categorías o valores observados de una variable (dependiendo de si la variable es cualitativa o cuantitativa) junto con sus frecuencias observadas.

FRECUENCIA ABSOLUTA ( f ): Cantidad de veces que aparece una categoría o valor en el conjunto de datos.

FRECUENCIA RELATIVA (h = f/n): Proporción de veces que aparece una categoría o valor en el conjunto de datos.

GRÁFICO DE LINEAS O BASTONES
GRÁFICO DE BARRAS
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
GRÁFICO DE TARTA

DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

Las tablas de frecuencias y los gráficos de barras o lineas constituyen una forma efectiva de representar las frecuencias de los valores de una variable cuantitativa cuando la cantidad de valores distintos observados es reducida.
Sin embargo, cuando el numero de valores distintos es demasiado grande, estas representaciones gráficas pierden utilidad.
En su lugar, es posible agrupar los valores observados en intervalos para luego representar la frecuencia que corresponde a cada intervalo.


HISTOGRAMA: REPRESENTACIÓN DE DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS.

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Estadística II - Introducción a la Estadística - Variables Aleatorias Continuas

Estadística II - Introducción a la Estadística - Variables Aleatorias Continuas

Este resumen fue elaborado para estudiar para el examen. 
El mismo NO es oficial ni está avalado por la cátedra.
Revisar, ya que el mismo puede tener errores.

Las variables Aleatorias Continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo de la recta real (Dicho intervalo puede ser abierto, cerrado, acotado o no acotado)

- Función de densidad de probabilidad 

Variable Aleatoria Continua - Definición: 

Sea X una variable aleatoria cuyo recorrido es un conjunto infinito no numerable. Diremos que X es una variable aleatoria continua si existe una función fx: R -> R , llamada función de densidad de probabilidad, tal que la probabilidad de que X tome un valor entre los números a y b con a < b, es igual al área debajo de la función de densidad de probabilida dentro de ese intervalo. 

- Función de distribución de X. 
- Valor esperado y varianza de X
- Modelo Normal Estandar
- Cálculo de probabilidades para Z.
- Probabilidades a rama derecha
- Uso de la tabla para valores negativos
- Probabilidad acumulada entre dos valores
- Percentiles en el modelo normal estandar
- Modelo Normal General

Propiedades de la función de densidad normal:
1 - Es simétrica respecto al valor esperado
2 - Tiene forma de campana

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Estadística II - Introducción a la Estadística - Variables Aleatorias Discretas

Estadística II - Introducción a la Estadística - Variables Aleatorias Discretas

Este resumen fue elaborado para estudiar para el examen. 
El mismo NO es oficial ni está avalado por la cátedra.
Revisar, ya que el mismo puede tener errores.

Introducción:

Existen magnitudes de interés, que vienen determinadas por el resultado de un experimento aleatorio, se conocen como variables aleatorias.  

Variable Aleatoria:

Definición: Una variable aleatoria es una función, cuyo dominio es el espacio muestral de un experimento y su codominio la recta real. 

Se puede asignar probabilidades  a sus valores posibles de la misma forma que se puede asignar probabilidades a los suceso que resultan del experimento. 

- Función de distribución de la variable aleatoria. 

Variable Aleatoria discreta:

Definición: Una variable aleatoria es discreta si su recorrido es un conjunto finito o infinito numerable. 

Distribución de una Variable Aleatoria Discreta: 

- Distribución de X

- Función de distribución de X ("Acumulado")

Valor Esperado: E (x) = Esperanza de X. 

- Es el centro de gravedad de la distribución de X. 

- Está comprendida entre el mínimo y el máximo valor posible de X. 

- No tiene porqué coincidir con ninguno de sus valores posibles. 

- Propiedad de linealidad del valor esperado 

El Valor Esperado es una medida de resumen de las propiedades de la distribución de una variable aleatoria. Representa la medida ponderada de todos los valores posibles de la variable aleatoria. Sin embargo, no proporciona información alguna acerca de la variación o dispersión de dichos valores. 

- Varianza (V): La varianza es el valor esperado de las desviaciones al cuadrado de cada valor posible de X respecto de su propia media. 

- Desviación Típica. 

3 Modelos que se aplican a las variables aleatorias discretas: 

- Bernuolli 

- Binomial 

- Hipergeométrico 

Modelo Bernuolli:

Consideremos un experimento aleatorio en el que solo hay dos posibles resultados a los que se les puede denominar éxito y fracaso, con probabilidades asociadas p y (1 - p), respectivamente. 

Un experimento de estas características se denomina prueba de Bernuolli. 

- Variable Aleatoria Bonomial y su distribución: 

Se dice que la variable aleatoria X = "número de éxitos que ocurren en una sucesión de n pruebas de Bernuolli" sigue una distribución binomial con parámetros n y p, es decir, x ~ binomial (n.p)

- Modelo Hipergeométrico 

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Estadística II - Introducción a la Estadística - Ejercicios Prácticos

Estadística II - Introducción a la Estadística - Ejercicios Prácticos 

Este resumen fue elaborado para estudiar para el examen. 
El mismo NO es oficial ni está avalado por la cátedra.
Revisar, ya que el mismo puede tener errores.

Práctica 1:

1) Ross - 4.2 Ej 1 y 2 - Pag 148: 

Caja con tres bolas; Roja, negra y azul:

A) Espacio Muestral: Recordar: Todos los resultados posibles! 

B) Suceso P:

C) Suceso M: 

En todos los casos saco el resultado "por deducción". 

* Sigue

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Estadística II - Introducción a la Estadística - Introducción

Estadística II - Introducción a la Estadística - Introducción 

Este resumen fue elaborado para estudiar para el examen. 
El mismo NO es oficial ni está avalado por la cátedra.
Revisar, ya que el mismo puede tener errores.

Definiciones Previas:

Experimento: Un experimento es cualquier proceso que produzca una observación o resultado. 

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. S = {s1, s2, ...}

- Excluyentes: no pueden ocurrir dos de ellos simultáneamente. 

- Exhaustivos: todos juntos (su unión) forman el espacio muestral. 

Suceso o Evento: Cualquier conjunto de resultados del experimento se denomina evento. 

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. 

Diagramas de Venn: Para representar sucesos 

Complemento de A: aquel que contiene todos los resultados del espacio muestral que no están en A. 

A unión B: aquel que incluye todos los resultados que están en A, en B o en ambos. 

Intersección de A y B: todos los resultados posibles que están en A y en B. 

Diferencia de B con respecto a A: todos los resultados posibles que están en A pero no en B. 

Un suceso que no contenga ningún resultado se denominará suceso nulo o suceso imposible. 

Si la intersección de A y B es el suceso nulo, se dirá, indistintamente, que A y B son disjuntos o incompatibles o mutuamente excluyentes, pues ambos no pueden ocurrir simultáneamente. 

Suceso seguro: una vez realizado el experimento ocurre necesariamente. 

- Axiomas de la probabilidad: ver 

- Propiedades de la probabilidad: ver. 

- Regla de adición: ver. 

Definiciones de Probabilidad: 

3 nociones de probabilidad que se han denominado:

- Frecuencista 

- Clásica 

- Subjetiva 

Probabilidad, Noción Frecuencista: 

"Si se repite un experimento sucesivamente bajo las mismas condiciones, se verifica que para cualquier suceso A, la proporción de resultados que se observan contenidos en A se aproxima a cierto valor a medida que el número de repeticiones aumenta" 

Probabilidad de un suceso. 

Probabilidad, Noción Clásica: 

"En algunos experimentos es natural asumir que cada resultado posible del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir" 

Probabilidad, noción subjetiva: 

"La probabilidad es el grado de confianza que una persona tiene de que se verifique un suceso". 

Para hacer operativa la definición, la reformulamos como:

La probabilidad de un suceso es el precio que un individuo coherente considera justo pagar para recibir 1 peso si el suceso se verifica y 0 peso si el suceso no se verifica. 

La condición de coherencia significa que las probabilidades deben ser asignadas de modo que no sea posible obtener con un conjunto de apuestas una ganancia o una pérdida seguras. 

Probabilidad Condicionada: 

En ocasiones uno está interesado en calcular probabilidades cuando dispone de cierta información parcial relativa al resultado del experimento. 

P (B/A) 

Regla de la Multiplicación: 

La probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad condicionada de B dado que ha ocurrido A. 

* Árbol de decisiones. 

Independencia de dos sucesos: 

Si A y B son independientes, la probabilidad de que uno de ellos ocurra no se ve afectada por la información de que el otro haya ocurrido o no. 

Independencia de más de dos sucesos: 

El concepto de independencia puede extenderse a cualquier número de sucesos. 

Principios de recuento:

Principio básico de recuento: 

Supongamos que un experimento consta de dos partes. Si en la parte 1 se pueden obtener "n" resultados posibles y si, por cada resultado de la parte 1, existen "m" resultados posibles de la parte 2, el número total de resultados posibles del experimento es "mn". 

Principio básico de recuento generalizado:

(Idem principio básico de recuento...!)

 Permutaciones:

Supongamos que se quiere determinar el número de formas en las que se pueden colocar "n" objetos en fila. 

Arreglos:

El número de grupos distintos de tamaño "r" que se pueden extraer de un conjunto de "n" elementos cuando el orden de selección tiene importancia. 

Combinaciones:

El número de grupos distintos de tamaño "r" que se pueden extraer de un conjunto de "n" elementos cuando el orden de selección no tiene importancia. 

Ejemplo: 

Grupo de 5 trabajadores quiere seleccionar 2 para negociación salarial. 

Posibles combinaciones: (5/2) = (5x4) / (2x1) = 10. 

Teorema de Bayes: